tìm x,y nguyên dương biết (x^2+1):(x.y-1) thuộc Z+?

Question

Vỹ · Accepted Answer

x^2+1 chia hết cho xy-1

=> x^2.y+y chia hết cho xy-1

=> x(xy-1) + x+y chia hết cho xy-1

=> x+y chia hết cho xy-1

vì x,y dương nên ta có x+y >= xy-1

=> xy - x - y + 1 <= 2

=> (x-1)(y-1) <=2

=> x,y không thể cùng lớn hơn 2.

* x=1: 2 chia hết cho y-1 <=> y-1 = {1;2} <=> y=2 hoặc y=3

* y=1: x^2+1 chia hết cho x-1 <=> x^2-1+2 chia hết cho x-1 <=> 2 chia hết cho x-1 <=> x=2 hoặc x=3.

* cả 2 số khác 1: => ít nhất một số bằng 2.

** x=2: 5 chia hết cho 2y-1 => 2y-1 =1 hoặc 2y-1=5 => y=1( loại) hoặc y=3

** y=2: x^2+1 chia hết cho 2x-1 => 4x^2+4 chia hết cho 2x-1 => 4x^2-1+5 chia hết cho 2x-1 => 5 chia hết cho 2x-1 => chọn đc x=3

tất cả các nghiệm

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,3)

(3,1)

(3,2)