cho x,y,z là các số dương.Chứng minh rằng:x/2x+y+z + y/2y+z+x + z/2z+x+y <= 3/4?

lần sau hỏi đóng cái ngoặo vào nha bạn kiểu như x/(2x+y+z) í

bài này hct giải rồi, mình xin phép ko giải nữa

đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z

=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4

thay vào vế trái ta có

P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =

= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)

= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)

Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2

=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6

=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:

P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z

cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)

------------

Cách khác:

P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3

= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3

= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3

- - -

Côsi cho 3 số:

2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)

=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)

Côsi cho 3 số:

1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)

Lấy (1*) *(2*) ta có:

4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9

=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4

thay vào P ta có:

P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z

-------------

anh Hồ Công tử làm không chê vào đâu được rồi

x/2x+y+z + y/2y+z+x + z/2z+x+y <= 3/4

<=> 1/2 + 1/2 + 1/2 + 2x + 2y +2z <= 3/4

<=> 3/2 + 2( x + y + z) <= 3/4

<=> 2(x + y + z) <= -3/4

<=> x + y + z <= -3/8 ????!!!!!!!!!!

Bạn cho đầu bài sai chăng, vì x,y,z dương nên tổng phải > 0 chứ

Còn nếu đầu bài đúng thì quả là 1 phép chứng minh vô đối ^^~