CMR:tồn tại x,y thuộc z+ t/m:x^2007+y^2007=2009^2007?

Câu trả lời là không tồn tại số như thế.

Thật vậy, nếu x>0, y>0 suy ra 2009>x và 2009>y.

Nếu x=y thì 2x^2007 = 2009^2007 suy ra căn_bậc_2007(2) . x = 2009, không tồn tại số x nguyên t/m.

Do đó x khác y, giả sử x>y, suy ra 2008>=x, 2007>=y.

Dễ dàng thấy là:

2009^2007 - 2008^2007 = (2009-2008)(2009^2006 + 2009^2005.2008 + 2009^2004.2008^2 + ...+ 2009.2008^2005 + 2008^2006) = (2009^2006 + 2009^2005.2008 + 2009^2004.2008^2 + ...+ 2009.2008^2005 + 2008^2006).

Mà 2009^i.2008^(2006-i) > 2007^2006 với mọi i = 0,1,2,...,2006.

Trong tổng (2009^2006 + 2009^2005.2008 + 2009^2004.2008^2 + ...+ 2009.2008^2005 + 2008^2006) có tất cả 2007 số có dạng 2009^i.2008^(2006-i).

Suy ra:

(2009^2006 + 2009^2005.2008 + 2009^2004.2008^2 + ...+ 2009.2008^2005 + 2008^2006) > 2007.2007^2006 = 2007^2007.

Suy ra:2009^2007 - 2008^2007 > 2007^2007.

<=> 2009^2007 > 2008^2007+2007^2007 >= x^2007+ y^2007.

Như vậy không tồn tại x,y nguyên dương t/m x^2007+y^2007=2009^2007.

___________________________________

@ hung t

Cảm ơn bạn.

___________________________________

@ Nguyen Minh Hai Whoisjg

Hướng giải của bạn tuyệt quá rồi, nhưng nếu ta dùng nhị thức

(a + b)ⁿ = aⁿ + n * a^(n - 1) * b + ... > aⁿ + n * a^(n - 1) * b, với a, b > 0

(tức ta lấy 2 số hạng đầu của khai triển)

-------

2009^2007 = (2008 + 1)^2007 > 2008^2007 + 2007 * 2008^2006 >

2008^2007 + 2007 * 2007^2006 = 2008^2007 + 2007^2007

thì lời giải đơn giản hơn rất nhiều