một bài toán số nhỏ thôi...?..?

============ ============ ========== ============ ============

Lời giải của vp_two chắc là thế này:

Đặt a = ⁿ√ [(n\(n-1)], như thế a>1:

1/(n-1) = n/(n-1) - 1 = aⁿ - 1 = (a-1)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + ... + 1) > (a-1).n

1/[n.(n-1)] > a-1

1/[n.(n-1)] > ⁿ√ [(n\(n-1)]-1.

Như vậy:

Sn - (n-1) = √2-1 + ³√(3\2)-1 + ⁴√(4\3)-1 +...+ ⁿ√ [(n\(n-1)] - 1 < 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/((n-1)n) = 1 - 1/n < 1.

Mặt khác, tớ tin rằng:

Sn - (n-1) > 0.

Do đó:

[Sn] = n-1.

Để chứng tỏ những gì Nemo nói, Nemo đã thử tính với n=1000 thì:

Sn = 999.8695375.

Kết quả này chính xác lắm đấy, bạn nào không tin có thể kiểm tra lại.

Bđt Bernoulli (1 + x)^α < 1 + α*x với 0 < α < 1 và x ≠ 0

=> ⁿ√[n / (n - 1)] = [1 + 1 / (n - 1)]^(1 / n) < 1 + (1 / n)*[1 / (n - 1)] = 1 + [1 / (n - 1) - 1 / n]

=> Sn = √2 + ³√(3\2) + ⁴√(4\3) +...+ ⁿ√ [(n\(n-1)] < (n - 1) + (1 - 1 / 2) + (1 / 2 - 1 / 3) + ... + (1 / (n - 1) - 1 / n)

= (n - 1) + 1 - 1 n < n - 1 / n < n

Tất nhiên Sn > n - 1 (có n - 1 số hạng > 1)

=> [Sn] = n - 1

( đánh dáu căn với cơ số n khó quá)

Tức là Sn = Σ ⁿ√[n/(n-1)] với n biến thiên từ 2 đến vô cùng

>> Sn = Σ ⁿ√[1+ 1/(n-1)] luôn >1 và < 2 , vì khi n tiến đến vô cùng thì 1+1/(n-1) tiến tới 1

>> Phần nguyên Sn= (n-1)x Σⁿ√1 >>Sn= n-1

không có ai giải được thì bác phải gửi lời giải của mình lên chứ sao lại del? Chưa hỏi mà bác đã nghĩ đến bcvp, lạ đời thế

kết quả của tớ đây: (n-1)