Cho em hỏi bài toán với, cần gấp?

1) c² + d² + cd = (c² + 2cd + d²) - cd = (c + d)² - cd

Theo Côsi : c + d ≥ 2√(cd) <=> (c + d)² ≥ 4cd

<=> cd ≤ (c + d)²/4

<=> - cd ≥ - (c + d)²/4

<=> (c + d)² - cd ≥ (c + d)² - (c + d)²/4

<=> (c + d)² - cd ≥ 3(c + d)²/4

<=> (c + d)² - cd ≥ 3(a + b)²/4

Theo Côsi : (a + b)/2 ≥ √(ab) <=> (a + b)²/4 ≥ ab

<=> 3(a + b)²/4 ≥ 3ab

<=> (c + d)² - cd ≥ 3(a + b)²/4 ≥ 3ab

<=> (c + d)² - cd ≥ 3ab (đpcm)

Dấu "=" khi a = b và c = d

=> a + b = c + d

<=> 2a = 2d

<=> a = b = c = d

2) Bất đẳng thức Bunhiacopski : (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²). Dấu "=" khi a/x = b/y

Áp dụng bất đẳng thức trên :

M² = (x.1 + 2y.1)² ≤ (x² + 4y²)(1² + 1²) = 125.2 = 250

<=> M² ≤ 250

<=> | M | ≤ √250 = 5√10

<=> - 5√10 ≤ M ≤ 5√10

Dấu "=" xảy ra khi : x/1 = (2y)/1 <=> x = 2y

=> min M = - 5√10 khi x + 2y = - 5√10 <=> 2x = - 5√10 <=> x = - 5/2.√10 => y = - 5/4.√10

=> Max M = 5√10 khi x + 2y = 5√10 <=> 2x = 5√10 <=> x = 5/2.√10 => y = 5/4.√10