LÀM PHIỀN BOX TOÁN 3 BÀI TẬP>>>>>?

1) (C): y = (x-1)/(x+1) ; D = R\{-1}

gọi (d): y = kx là đường thẳng qua O,

theo gthiết thì có (d) cắt (C) tại 2 điểm A,B sao O là trung điểm AB

ptrình hoành độ: (x-1)/(x+1) = kx <=> kx² + (k-1)x + 1 = 0 (1)

giả sử (1) có 2 nghiệm x1, x2 do O là trung điểm AB nên ta có x1+x2 = 2*0 = 0

=> (Vi-et) -(k-1)/k = 0 => k = 1

thay k = 1 vào (1) có: x² + 1 = 0, ptrình vn

Vậy không có cặp điểm nào thuộc (C) đx qua O

* cách khác: cặp điểm đx qua O có dạng A(xo, yo) ; B(-xo, -yo)

A, B thuộc (C) nên: (xo-1)/(xo+1) = -(-xo-1)/(-xo+1)

<=> (xo-1)/(xo+1) + (xo+1)/(xo-1) = 0 => (xo-1)²+(xo+1)² = 0

ptrình này vn => KL

- - - - - - -

2) √(x-2) + √(4-x) = x²-6x+11 (1)

bđt Bunhiacopski: √(x-2) + √(4-x) ≤ √2.√(x-2+4-x) = 2

=> √(x-2) + √(4-x) ≤ 2 (*)

mặt khác: x²-6x+11 = (x-3)² + 2 ≥ 2 (**)

so sánh ptrình đã cho và (*), (**): 2 ≥ √(x-2) + √(4-x) = x²-6x+11 ≥ 2

=> phải xãy ra các dấu "="

<=> { √(x-2) = √(4-x)

------ { x-3 = 0

<=> x = 3 là nghiệm duy nhất

- - - - - -

với trình độ 12 thì có thể ko cần dùgn bđt Bunhia mà khảo sát hàm:

y = √(x-2) + √(4-x) trên [2,4] sẽ tìm đc max y = 2

- - - - - - - - - - - - -

3) lại lạm dụng bđt tí:

có bđt: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc (*)

cm (*) : ad bđt cô si:

√[(a+b-c)(b+c-a)] ≤ (a+b-c + b+c-a)/2 = b

tương tự √[(b+c-a)(c+a-b)] ≤ c và √[(c+a-b)(a+b-c)] ≤ a

nhân lại 3 bđt trên ra (*), dấu "=" khi a = b = c

công thức Herong: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=> 4S = √[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ √[(a+b+c)abc]

=> 16S² ≤ abc(a+b+c) (*-*)

ta cũng có bđt: x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx (**)

chứng minh đơn giản từ cô si cho từng cặp hoặc từ khai triển hằng đẳng thức:

(x-y)² + (y-z)² + (z-x)² ≥ 0 là ra

(a²+b²+c²)² = (a²)² + (b²)² + (c²)² + 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² ≥

≥ 3(a²b²+b²c²+c²a²) {ad (**)} ≥ 3(abbc+bcca+caab) = 3abc(a+b+c)

so sánh với (*-*) ta có:

(a²+b²+c²)² ≥ 3.16S² => a²+b²+c² ≥ 4S.√3 (đpcm)

dấu "=" khi a = b = c (ABC là tgiác đều)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~