Tứ giác lớp 9 . Help me !?

Question

Cho (O ), K là đ' nằm ngoài đg` tròn (O) . Kẻ các tiếp tuyến KA , KC và cát tuyến KBD với (O) . Khi đó tứ giác ABCD gọi là tứ giác đẹp .
1. Xét tứ giác đẹp ABCD . gỌI N là giao của AC và BD .
C/m : NA/NC = (AB/AC)^2 = (AD/CD)^2
2. Xét tứ giác đẹp ABCD . Gọi M là trung điểm AC . 
C/m : góc ADB = góc MDC .
3. Gỉa sử tứ giác ABCD nọi tiếp trong đg` tròn và AB.CD=AD.BC . Khi đó các tiếp tuyến tại B và D hoặc cắt nhau trên đường thẳng AC hoặc song song với nhau .
4. Từ một điểm A ở ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến AM , AN và cát tuyến AKL đến (O) . Vẽ đường thẳng d bất kì song song với AM . Gỉa sử d cắt đường thẳng KM và LM tư��ng ứng tại P và Q . Chứng minh : Đg` thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn PQ .
5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . Các tiếp tuyến tại B,C cắt nhau ở N . Vẽ dây AM // BC , MN cắt (O) tại P .
C/m : đường thẳng PA đi qua trung điểm BC .

Nemo Captain · Accepted Answer

Bài 1:

Lờigiải bàitoán có thể chia làm 3 bướclàm:

Bước 1:
Bổđề: Cho tamgiác ABC, kýhiệu các góc ở đỉnh A,B,C là A, B, C khiđó ta luôn có:
AB/sin(C)=AC/sin(B).

Bước 2:
Ápdụng tínhchất của tiếptuyến, và tamgiác đồngdạng, bạn chứngminh được 1 tínhchất đặctrưng của tứgiác đẹp:
BC.AD=AB.CD.
Từđó suyra: 
AB/BC = AD/CD.

Bước 3:
Nếu đặt a=^ACD, b=^BDC, c=^BCA, d=^CAD. Bạn lầnlượt đánhdấu các góc nộitiếp bằngnhau, vídụ bạn đánhdấu góc ^ABD=a.
Ápdụng bổđề ta có:
NA/sin(c) = ND/sin(d),
NC/sin(b) = ND/sin(a).
Suyra:
NA/NC = sin(c)/sin(b) . sin(a)/sin(d).
Sauđó, lại ápdụng bổđề:
sin(c)/sin(b) = AB/BC,
sin(a)/sin(d) = AD/CD.
Suyra:
NA/NC = AB/BC . AD/CD.
Ápdụng bước 1, sẽ suyra:
NA/NC = (AB/BC)^2 = (AD/CD)^2.
============= ============= ============= ============= 
============= =============
Bài 2:

Bổđề: tínhchất của tứgiác ABCD nộitiếp trong đườngtròn:
AC.BD = BC.AD + CD.AB.
Chứngminh bổđề không khó, bạn chỉcần lấy điểm K trên BD thỏamãn ^DAK = ^CAB, sauđó dùng tamgiác đồngdạng chứngminh:
DK.AC = BC.AD,
BK.AC = AB.CD.

Sauđó ápdụng tínhchất của tứgiác đẹp, bạn sẽ suyra đ.p.c.m.
============= ============= ============= ============= 
============= =============
Bài 3:
Trườnghợp 1: tiếptuyến từ B và D songsong nhau (không còn gì để nói).

Trườnghợp 2: tiếptuyến từ B và D không songsong nhau. Gọi K là giaođiểm của 2 tiếptuyến này, K nằm ngoài (O). KA cắt đườngtròn tại điểm C' khác A, C và C' cùng nằm trên 1 cungtròn có 2 đầumút là B, D. Ta chứngminh C' trùng với C.

Tứgiác ABC'D là tứgiác đẹp dođó:
AB.C'D=BC'.AD.

Từđó bạn sẽ suyra 2 tamgiác:
BC'D ~ BCD, suyra:
^C'BD=^CBD, suyra:
C trùng với C'.
============= ============= ============= ============= 
============= =============
Bài 4:
Gọi giaođiểm của PQ với MN là I.
Sauđó, bạn chứngminh các cặp tamgiác sau đồngdạng:
MPI ~ MNK
=> IP/IM = KN/KM.
MQI ~ MNL
=> IQ/IM = LN/LM.
Tứgiác MLNK đẹp:
=> KN/KM = LN/LM.
Cuốicùng bạn sẽ suyra:
IP=IQ.
============= ============= ============= ============= 
============= =============
Bài 5:
Bài này cũng làm tươngtự như bài trên.
Bạn chứngminh các cặp tamgiác đồngdạng:
AIB ~ MBP
=> IB/IA = BP/BM.
AIC ~ MCP
=> IC/IA = CP/CM.
Tứgiác MBPC đẹp nên:
BP/BM = CP/CM.
Cuốicùng bạn sẽ suyra:
IB = IC.
============= ============= ============= ============= 
============= =============
Mình đã giữ lờihứa với bạn. Cảmơn bạn vì đã tintưởng.
Chúc bạn học giỏi. :)
============= ============= ============= ============= 
============= =============

Tứ giác lớp 9 . Help me !?

1 Câu trả lời