giải hộ mình câu bđt cho 3 số xyz thuộc [0;1] cm1/(xy+1)+1\(yz+1)+1\(zx+1)<=5\(x+y+z)?

bất đẳng thức đã cho

⇔ (x + y + z).[1\(xy + 1) + 1\(xz + 1) + 1\(yz + 1)] ≤ 5

⇔ (x + y)\(xy + 1) + (y + z)\(yz + 1) + (x + z)\(xz + 1) + z\(xy + 1) + x\(yz + 1) + y\(xz + 1) ≤ 5

đến đây la sẽ cm 2 BĐT:

bđt (☻) : H = (x + y)\(xy + 1) + (y + z)\(yz + 1) + (x + z)\(xz + 1) ≤ 3

bđt (☺) : T = z\(xy + 1) + x\(yz + 1) + y\(xz + 1) ≤ 2

cm BĐT: (☻)

ta có: 0 ≤ x,y,z ≤ 1 ⇒ (1 - x).(1 - y) ≥ 0, (1 - y).(1 - z) ≥ 0, (1 - z).(1 - x) ≥ 0..(*)

⇒ x + y ≤ 1 + xy, y + z ≤ 1 + yz, x + z ≤ 1 + xz

⇒ (x + y)\(1 + xy) ≤ 1 , (y + z)\( 1 + yz) ≤ 1 , (x + z)\(1 + xz) ≤ 1

⇒ H = (x + y)\(xy + 1) + (y + z)\(yz + 1) + (x + z)\(xz + 1) ≤ 3

dấu = khi (*) xuất hiện dấu "=" ⇒ 1 trong các cặp số (x,y), (x,z), (y,z) or (x;y;z) bằng 1

cm BĐT (☺) :

giả xử (or sử :D), x ≤ y ≤ z

⇒ 1 + yz ≥ 1 + xz ≥ 1 + xy

⇒ x\(1 + xy) + y\(1 + xy) + z\(1 + xy) ≥ x\(yz + 1) + y\(xz + 1) + z\(xy + 1)

⇒ (x + y +z)\(1 +xy) ≥ x\(yz + 1) + y\(xz + 1) + z\(xy + 1)

mà (1 + xy + 1)\(1 + xy) ≥ (x + y + z)\(1 + xy)

và: (2 + 2xy)\(1 + xy) ≥ (2 + xy)\(1 + xy)

⇒ 2 ≥ x\(yz + 1) + y\(xz + 1) + z\(xy + 1)

dấu "=" khi các đẳng thức sau xảy ra: yz = xz = xy , 1 + xy = x + y, z = 1, và xy = 0

⇒ x or y "=" 0 và 2 số còn lại "=" 1

(do ta giả xử x ≤ y ≤ z, tương tự với các trh còn lại )