Bat dang thuc :ai biet giup minh voi minh can gap!?

Nhìn một số người mù BDT thật tội

1 + a^2(b+c) >= 3abc

1 + 3a - abc >= 3abc

1 + 3a >= 4abc

Ta cần chứng minh 1 >= a.(4bc - 3)

Mặt khác ta có:

ab + bc + ca = 3

a = (3 - bc)/(b+c)

Áp dụng BDT AM-GM, ta có

b + c >= 2√(bc)

(3 - bc)/(b+c) <= (3 - bc)/(2√[bc])

a <= (3 - bc)/(2√[bc])

a.(4bc - 3) <= (4bc - 3).[(3 - bc)/(2√[bc])]

Đặt √(bc) = t, xét hàm số

f(t) = (4t^2 - 3).[(3-t^2)/(2t)] = 15/2.t - 2t^3 - 9/(2t)

Mà ta có

1 >= abc (Tự chứng minh)

1 >= 1/2.t.(3 - t^2)

t^3 - 3t + 2 >= 0

(t + 2).(t - 1)^2 >= 0

t >= 1

Vậy bài toán quy thành tìm GTLN của hàm số sau trên miền [1;dương vô cùng)

15/2.t - 2t^3 - 9/(2t)

Đạo hàm sau đó dùng bảng biến thiên là ok cái này của 12

Bất đẳng thức sai khi lấy a = 1/4, b = c = 3/2.