Các bạn ơi, Thanh Long ơi giúp với Cho a,b,c dương.Chứng minh bc/(a^2+2bc)+ca/(b^2+2ca)+ab/c^2+2ab)<=1?

Ta có:

bc/(a² + 2bc) + ca/(b² + 2ca) + ab/(c² + 2ab) ≤ 1

Hay

1/[ (a²/bc) + 2 ] + 1/[ (b²/ac) + 2 ] 1/[ (c²/ab) + 2 ] ≤ 1 (*)

ĐẶt x = a²/bc, y = b²/ac, z = c²/ab thì xyz = 1 và (*) trở thành:

.......1/(x + 2) + 1/(y + 2) + 1/(z + 2) ≤ 1 (Quy đồng và sử dụng xyz = 1)

<=> (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2)

<=> xy + yz + xz + 4(x + y + z) + 12 ≤ xyz + 2(xy + yz + xz) + 4(x + y + z) + 8

<=> xy + yz + xz ≥ 3 (**)

Thật vậy, (**) đúng theo BĐT CauChy cho 3 số và xyz = 1.

Bạn nên thuộc 1 số kết quả sau:

Với xyz = 1 và x, y, z > 0 thì ta luôn có:

1/(x + 2) + 1/(y + 2) + 1/(z + 2) ≤ 1

1/(2x + 1) + 1/(2y + 1) + 1/(2z + 1) ≥ 1

1/(x + xy + 1) + 1/(y + yz + 1) + 1/(z + xz + 1) = 1