DƯơng

Cho 5 điểm M,N,P,Q,R (theo thứ tự ấy) tạo thành 1 ngũ giác sao cho ^MPN = ^MQR = 90độ; ^PMN = ^QMR. X là giao của NQ và PR. Chứng minh MX vuông góc PQ

Cho tam giác nhọn MNP.nội tiếp (O), đường cao ND, PE. Gọi I là trung điểm của DE. Tia MI cắt (O) tại K khác M. Lấy F đối xứng K qua NP. CMR ^NFP = ^DFE

7/2 + 3b/(a+b) = √a + 4√b

(a^2 + b^2)(a+1) = 4 + 2ab(a-1)

Cho tam giác MNP cân tại M thay đổi. Nội tiếp đường tròn (O;R) cho trước. Kẻ NH vuông góc vs MP. Tìm max NH

Cho đường tròn tâm O. 2 điếm A,B cố định thuộc đường tròn. M là 1 điểm di động trên đường tròn. Sao cho MAB là tam giác nhọn. Trên MB lấy điểm I sao cho IM = 3IB. H là hình chiếu của I trên MC. cmr H thuộc 1 đường tròn cố định.

Cho tam giác XYZ và T là 1 điểm bất kì thuộc YZ. T không trùng vs Y và Z. I,K theo thứ tự là trung điểm của YT và ZT. Các đường trung trực của YT và ZT cắt XY, XZ lần lượt tại M và N. H là hình chiếu của T trên MN. CMR ^IHK = ^YXZ

Cho tam giác MNP cân tại M, nội tiếp (O), MI đường kính. K là điểm bất kì trên cung nhỏ MN (K khác M,N0. KI cắt NP tại H. Đường trung trực của HK cắt các cạnh MN,MP thứ tự tại D,E,F. CMR 3 điểm M,H,F thẳng hàng.

với các số thực dương a,b thỏa mãn a + b =< 3. Tìm min A = 1/(ab) - 1/(3ab) + căn(3/(b+1))

((x-1)(x+1))/y + ((y-1)(y+1))/x = 3 và (x-y)(x+y) + 12/x = 9

4x(x^3 + 2x^2 - 9x +1) = 19 - 3y^2(2x^2 + 1)

4x(x^3 + 2x^2 - 9x +1) = 19 - 3y^2(2x^2 + 1)

((x-1)(x+1))/y + ((y-1)(y+1))/x = 3 và (x-y)(x+y) + 12/x = 9

4x(x^3 + 2x^2 - 9x +1) = 19 - 2y^2(2x^2 + 1)

((x-1)(x+1))/y + ((y-1)(y+1))/x = 3 và x^2 - y^2 + 12/x = 9

Cho hai đường tròn (l) và (m) tiếp xúc với nhau tại A và B. Đường thẳng bất kì qua A cắt (l), (m) lần lượt tại C và D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cung BC, BD không chứa A. H là trung điểm của CD. Chứng minh MH _|_ HN

Cho tam giác MNP vuông cân tại M có đường tròn ngoại tiếp tâm O. K là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN. Vẽ MH _|_ KP tại H. Xác định vị trí của K để tổng KN + KH nhỏ nhất, lớn nhất.

Cho 2 đường tròn h và m bán kính khác nhau, cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia Ab, lấy 1 điểm C bất kì. Qua C, kẻ 2 tiếp tuyến CD và CE của đường tròn m. ( D, E là tiếp điểm , E là điểm nằm trong đường tròn l). AE, AD cắt đường tròn l lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên tia đối của tia AB, KH luôn đi qua 1 điểm cố định

Với x,y, khác 0

x^2 - xy + y^2 -x - y = 0

và x^3 - x(y^2) - 9x + 12 = 0

Cho 2 l và m bán kính khác nhau, cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia Ab, lấy 1 điểm C bất kì. Qua C, kẻ 2 tiếp tuyến CD và CE của đường tròn m. ( D, E là tiếp điểm , E là điểm nằm trong đường tròn l). AE, AD cắt đường tròn l lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên tia đối của tia AB, KH luôn đi qua 1 điểm cố định

Cho 2 l và m bán kính khác nhau, cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia Ab, lấy 1 điểm C bất kì. Qua C, kẻ 2 tiếp tuyến CD và CE của đường tròn m. ( D, E là tiếp điểm , E là điểm nằm trong đường tròn l). AE, AD cắt đường tròn l lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên tia đối của tia AB, KH luôn đi qua 1 điểm cố định