giúp em tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với ạ?

Ta có: x, y > 1 (số dương)

P = [(x^3 + y^3)-(x²+y²)]/[(x-1)(y-1)]

= [ x^3 + y^3 - x² - y²]/[(x-1)(y-1)]

= [(x^3 - x^2) + (y^3 - y^2)]/[(x-1)(y-1)]

= [x^2(x-1) + y^2(y-1)] / [(x-1)(y-1)]

P = x^2/(y-1) + y^2/(x-1)

Đặt x - 1 = a, y -1 = b

Thì x = a + 1, y = b + 1

Thay vào P ta được: P = (a+1)^2/b + (b+1)^2/a

Ta có bất đẳng thức

(a +1)^2 >= 4a

<=> (a-1)^2 >= 0

Đẳng thức xảy ra khi: a = 1

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

(a+1)^2 >= 4a => (a+1)^2/b >= 4a/b

(b+1)^2 >= 4b => (b+1)^2/a >= 4b/a

Vậy P = (a+1)^2/b + (b+1)^2/a >= 4a/b + 4b/a = 4(a/b+ b/a)

Ta có bất đẳng thức:

z/t + t/z >= 2

<=> z^2 - 2zt + t^2 = 0

<=> (z-t)^2 = 0

Đẳng thức xảy ra khi z = t

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

P >= 4(a/b+ b/a) >= 4.2 = 8

=> Pmin = 8

Xảy ra khi a = b = 1

=> x = y = 2