Tìm m để hệ có nghiệm @@?

TXĐ: x,y ≥ 0

Từ pt1 ta suy ra 0 ≤ x,y ≤ 16

Từ pt 1: y = (4-√x)² thế vào pt2:

√(1+x) + √(x - 8√x + 20) = m (*)

Xét hàm: ƒ(x) = √(1+x) + √(x - 8√x + 20) với 0 ≤ x ≤ 16

ƒ'(x) = 1/[2√1+x)] + (√x - 4)/[2√(x² - 8x√x + 20x)]

ƒ'(x) = 0 <=> √(x² - 8x√x + 20x) + √(x+1).(√x-4) = 0

<=> √(x² - 8x√x + 20x) = (4-√x)√(1+x)

<=> x² - 8x√x + 20x = (1+x)(16 - 8√x + x)

<=> 3x + 8√x - 16 = 0

<=> 3x - 4√x +12√x - 16 = 0

<=> (3√x -4)(√x + 4) = 0

<=> x = 16/9

Ta có: ƒ(0) = 1+ 2√5; ƒ(16) = 2+√17

ƒ(16/9) = (5+2√65)/3

Lập bảng xét biến thiên ta thấy:

min ƒ(x) = 1+2√5 tại x = 0

max ƒ(x) = (5+2√65)/3 tại x = 16/9

Tức là: tập giá trị của ƒ(x) trên [0;16] là [1+2√5;(5+2√65)/3]

Để hệ có nghiệm thì pt (*) phải có nghiệm

<=> m € tập giá trị của ƒ(x) trên [0;16]

<=> 1+2√5 ≤ m ≤ (5+2√65)/3