xin giúp bài này với?

Question

1) Tìm x,y thỏa mãn x. Căn(y - 1) + 2y. căn(x - 1)  = 3xy/2
2) tìm x,y,z nguyên biết 3x^2 + 6y^2 + z^2 + 3y^2z^2 - 18x = 6

Nguyen Kim Nguu · Accepted Answer

1) Ta có (a - 2)² >= 0 <=> a² - 4a + 4 >= 0 <=> a² >= 4(a - 1) <=> a >= 2√(a - 1) <=> √(a - 1)/a =< 1/2 với mọi a > 1 (*)

Theo (*) với x > 1; y > 1 ta có:

√(y - 1)/y + 2√(x - 1)/x =< 1/2 + 2.(1/2) = 3/2

<=> x√(y - 1) + 2y√(x - 1) =< 3xy/2

Dấu "=" xảy ra khi √(y - 1)/y = √(x - 1)/x = 1/2 <=> x = y = 2

2) 3x² + 6y² + z² + 3y²z² - 18x = 6

<=> 3x² - 18x + 27 + 6y² + z² + 3y²z² = 6 + 27

<=> 3(x - 3)² + 6y² + z² + 3y²z² = 33 (*)

<=> (x - 3)² + 2y² + z²/3 + y²z² = 11(**)

=> z² chia hết cho 3 => z chia hết cho 3 => z = 3t với t nguyên

Từ (*) => z² < 33 => z < 6 => z = - 3; 0; 3 => z² = 0; 9

@ Với z² = 0 từ (**) => (x - 3)² + 2y² = 11 => y² =< 4

Nếu y² = 0 => (x - 3)² = 11 => không có x nguyên thỏa

Nếu y² = 1 => (x - 3)² = 9 => x = 0 và x = 6

Nếu y² = 4 => (x - 3)² = 3 => không có x nguyên thỏa

@ Với z² = 9 từ (**) => (x - 3)² + 2y² + 3 + 9y² = 11 => (x - 3)² + 11y² = 8 => y = 0 => (x - 3)² = 8 => không có x nguyên thỏa

Kết luận: Tập nghiệm nguyên của pt là: S = {(x;y;z)} = {(0;-1;0);(0;1;0);(6;-1;0);(6;1;0)}