Mong các prồ giúp, 5* nhé. Cảm ơn nhiều ?

Bài này để ý rằng:

x² + y² ≥ 2xy

y² + 1 ≥ 2y

=> x² + 2y² + 3 ≥ 2(xy + y + 1)

=> 1/(x² + 2y² + 3) ≤ ½ . 1/(xy + y + 1)

Tương tự:

1/(y² + 2z² + 3) ≤ ½ . 1/(yz + z + 1)

1/(z² + 2x² + 3) ≤ ½ . 1/(zx + x + 1)

=> P ≤ ½ . [1/(xy + y + 1) + 1/(yz + z + 1) + 1/(zx + x + 1)]

Với xyz = 1 ta chứng minh hằng đẳng thức sau:

1/(xy + y + 1) + 1/(yz + z + 1) + 1/(zx + x + 1) = 1 (♦)

Thật vậy:

1/(xy + y + 1) = z/(xyz + yz + z) = z/(1 + yz + z)

1/(zx + x + 1) = yz/(zx.yz + x.yz + yz) = yz/(z + 1 + yz)

=> 1/(xy + y + 1) + 1/(yz + z + 1) + 1/(zx + x + 1)

= z/(1 + yz + z) + 1/(yz + z + 1) + yz/(z + 1 + yz) = 1

=> P ≤ ½

Max P = ½ xảy ra khi x = y = z = 1 •

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Bạn lưu ý cái HĐT (♦). Nó áp dụng trong khá nhiều trường hợp.

http://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=201...