Giúp mình Xác Suất: Bài toán Buffon?

Gọi t là phương vuông góc với các đường kẻ.

x là góc giữa chiếc kim và các đường kẻ thỏa mãn x thuộc [0; pi/2]

---> độ dài hình chiếu của chiếc kim lên phương t là l sinx

Do góc x thay đổi từ 0 đến pi/2 nên độ dài hình chiếu của chiếc kim lên phương t cũng thay đổi.

Gọi d là độ dài hình chiếu TRUNG BÌNH của chiếc kim lên phương t.Ta hãy tính d.

d = giá trị trung bình của l sinx trên [0;pi/2) = l * giá trị TB của sinx trên [0;pi/2]

Mà giá trị TB của sinx trên [0;pi/2] = S / (pi/2 - 0) = S / (pi/2) trong đó

.....pi/2

S = ∫ sinx dx = 1

.....0

---> d = l / (pi/2) = 2l / pi (l : độ dài chiếc kim)

XS cần tìm là P = d/a = 2l / (pi*a)

(Đặc biệt nếu l = a thì khi đó P = 2/pi)

===============================

@ Anhtuan :

Bạn hãy vẽ 2 đường thẳng d1 // d2 cách nhau 1 khoảng bằng a (d1 ở trên d2)

Vẽ thêm d3 // d1 // d2 sao cho khoảng cách từ d3 đến d1 bằng d (d3 và d2 ở phía dưới d1)

Gạch chéo phần diện tích giữa d3 và d1 (gọi đó là s1)

Gọi phần diện tích giữa d1 và d2 là s

+ Nếu d =< a

..Dễ dàng thấy rằng nếu đầu dưới của hình chiếu nằm trong s1 thì kim sẽ cắt đường kẻ

..---> XS là P = s1/s = d/a

+ Nếu d > a

..Chỉ cần đầu dưới của hình chiếu thuộc s thì kim sẽ cắt đường kẻ

..---> XS là P = s/s = a/a = 1

..Lưu ý rằng XS bằng 1 cũng ko có nghĩa là luôn luôn xảy ra

..Lấy 1 ví dụ :

..Trên mp cho 1 đường thẳng.Tính XS phóng 1 phi tiêu ko trúng đt đó.

..XS phóng trúng đt đó là = (diện tích đt đó)/(diện tích mp) = 0

..XS phóng ko trúng đt đó là = 1 - 0 = 1

..Tuy nhiên khả năng phóng trúng đường thẳng đó vẫn có thể xảy ra

..(Hy vọng là bạn hiểu !)

Giả sử ban đầu có n đường thẳng

Gieo cái kim thì có tất cả n+(n+1) = 2n+1 trường hợp (n là số đường thẳng, n+1 là các số khe trong và khe ngoài)

Để cái kim cắt 1 đường thẳng nào đó thì có n trường hợp.

Vậy xs cần tìm là n/(2n+1)

Nếu số đường thẳng rất lớn, nghĩa là n rất lớn thì n/(2n+1)=1/(2+1/n)

n tiến tới vô cùng nên 1/n tiến tới 0

Do vậy 1/(2+1/n) tiến tới 1/2