Ai rãnh giúp em câu hệ phương trình ?

Tôi có cách này, nhưng không hay cho lắm, bạn có thể tham khảo rồi cho ý kiến.

Để đơn giản, ta đặt a = |sinx|, b = |cosx|, c = |siny|, d = |cosy| (a,b,c,d > 0). Khi đó, hệ trở thành

can(a^2 + 1/a^2) + can(d^2 + 1/d^2) = can[20y/(x + y)]

can(c^2 + 1/c^2) + can(b^2 + 1/b^2) = can[20x/(x + y)].

Cộng hai phương trình của hệ theo vế, ta được

can(a^2 + 1/a^2) + can(b^2 + 1/b^2) + can(c^2 + 1/c^2) + can(d^2 + 1/d^2) = can(20)[can(x) + can(y)]/can(x + y) (1).

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski, ta được

can(a^2 + 1/a^2) + can(b^2 + 1/b^2) + can(c^2 + 1/c^2) + can(d^2 + 1/d^2) >= can[(a + b + c + d)^2 + (1/a + 1/b + 1/c + 1/d)^2];

và vì 1/a + 1/b + 1/c + 1/d >= 16/(a + b + c + d) nên ta có

can(a^2 + 1/a^2) + can(b^2 + 1/b^2) + can(c^2 + 1/c^2) + can(d^2 + 1/d^2) >= can[(a + b + c + d)^2 + 256/(a + b + c + d)^2] (2).

Lại vì a,b,c,d > 0 và a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1 nên 0 < a + b + c + d <= can[2(a^2 + b^2)] + can[2(c^2 + d^2)] = 2can(2); từ đó suy ra

0 < (a + b + c + d)^2 <= 8 (3).

Với giả thiết (3) ta dễ dàng chứng minh được

can[(a + b + c + d)^2 + 256/(a + b + c + d)^2] >= 2can(10) (4).

Từ (2) và (4) ta có

can(a^2 + 1/a^2) + can(b^2 + 1/b^2) + can(c^2 + 1/c^2) + can(d^2 + 1/d^2) >= 2can(10) (5).

Lại dễ dàng thấy

can(20)[can(x) + can(y)]/can(x + y) <= can(20)can[2(x + y)]/can(x + y);

hay

can(20)[can(x) + can(y)]/can(x + y) <= 2can(10) (6).

Vậy là, từ (1) cho thấy (5) và (6) cùng xảy ra dấu bằng; suy ra a = b = c = d và x = y; suy ra |sinx| = |cosx| và |siny| = |cosy| và x = y; suy ra cos2x = 0 và cos2y = 0 và x = y. Giải hệ này ta được x = y = pi/4 + kpi/2 (k nguyên).

Thế trực tiếp x,y tìm được vào từng phương trình của hệ ta thấy hệ thỏa mãn.

KL: Hệ đã cho có nghiệm là x = y = pi/4 + kpi/2 (k nguyên).

Ta thấy đây là một hệ phương trình đối xứng => x=y , như vậy pt1 sẽ trở thành:

pt(1) <=> √[Sin²(x) + 1/Sin²(x)] + √[Cos²(x) + 1/Cos²(x)] = √10

Ta thấy 2 vế của pt đều >0 nên ta bình phương 2 vế lên, sau 1 qtrình biến đổi ta có :

pt <=> 1+ (1/(sinx.cosx)² )+ 2 √[(sinx.cosx)² + 2/(sinxcosx)² -2] =√10

Đặt a= (sinx.cosx)² = (sin2x)² /4 ( a>=0)

pt<=> 1+ 1/a + 2 √ [ a+ (2/a) -2] = √10

<=> 2√ [ a+ (2/a) -2] = (√10 ) -1 +1/a

Bình phương 2 vế rùi giải pt, tính đc a => sin2x => x=> y

( mình nghĩ cách làm là vậy, b tham khảo thử nhé)