Anh Kiếm Ma và mọi người ơi giúp e bài này nha?

Để đơn giản xét đường thẳng d đi qua C ( Nếu d không qua C thì xét d' đi qua C và d'//d thì tính chất bài toán không thay đổi)

Không mất tính tổng quát giả sử AA' > BB' ( khi đó ^BCB' < 60o).

Đặt AB = BC = CA = a

Vẽ đường cao AH của ΔABC ⇒ AH = a√3/2.

Vẽ BD//A'H (D ∈d) ⇒ BD = 2A'H (1)

Mặt khác dễ thấy tứ giác ACA'H nội tiếp đường tròn đk AC ⇒^AA'H = ^ACH = 60o ⇒^B'A'H = 30o = ^B'DB (đồng vị) ⇒BD = 2BB' (2)

Từ (1) và (2) ⇒BB' = A'H

Áp dụng định lý hàm số cosin cho ΔAA'H ta có:

AA'² + A'H² - 2AA'.A'H.cos(^AA'H) = AH²

<=> AA'² + BB'² - 2AA'.BB'.cos60o = AH²

<=> AA'² + BB'² - AA'.BB' = AH² = 3a²/4 (không đổi) (*)

Vì C ∈ d ⇒C trùng C' nên ta có :

A'B'² + B'C'² + C'A'²

= A'B'² + B'C² + CA'²

= [AB² - (AA' - BB')²] + (BC² - BB'²) + (CA² - AA'²)

= [a² - (AA' - BB')²] + (a² - BB'²) + (a² - AA'²)

= 3a² - 2(AA'² + BB'² - AA'.BB')

= 3a² - 2.(3a²/4) = 3a²/2 (không đổi) (đpcm)

-----------------------------------…∆ Δ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≥ − ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★ ✰ ✡ ✪ ✬✫✭ ✯ ✡

Vẽ đường thẳng d trong goc A nhé.

Goi góc BAA' là x và CAA' là y: thì x+y= 60

Ta có B'A' =AB.sinx=asinx ; A'C' = AC.siny=asiny => B'C'= a.(sinx+siny) (a la chieu dai canh)

A'B'^{2}+A'C'^{2}+B'C'^{2} = a^2 [ (sinx)^2 +(siny)^2+ (sinx+siny)^2]

tính biểu thức trong ngoac nhé:

BT= 2(sinx)^2 +2(siny)^2 +2sinxsiny = 1- cos2x +1- cos2y+ cos (x-y) - cos(x+y) (hạ bac)

= 3/2 - cos2x - cos(120-2x) + cos(2x-60) (do x+y=60)

=3/2 -cos2x -(cos120.cos2x +sin120.sin2x) +cós2xcos60+sin2x.sin60

=3/2-cos2x +1/2cos2x - (can3)/2.sin2x+ 1/2cos2x + (can3)/2.sin2x

= 3/2.

A'B'^{2}+A'C'^{2}+B'C'^{2} =3/2. a^2