BẤt đẳng thức đây !!?

Áp dựng bất đẳng thức Svác-xơ: a^2/x + b^2/y + c^2/z + d^2/t >= (a + b + c + d)^2/ (x + y + z + t)

=>a²/(a + b) + b²/(b + c) + c²/(c + d) + d²/(d + a) >= (a + b + c + d)^2/[2.(a + b + c + d)]

= (a + b + c + d)/2 = 1/2

C/m BĐT Svác-xơ: Áp dụng BĐT bunhia - cốpxki cho 2 bộ số dương:

[a/√x ; b/√y ; c/√z ; d/√t] ; [√x ; √y ; √z ; √t]

=> (a + b + c + d)^2 <= [a²/x + b²/y + c²/z + d²/t][x + y + z + t]

<=> [a²/x + b²/y + c²/z + d²/t] >= (a + b + c + d)^2 /(x + y + z + t)

Vậy thì bạn dùng Bunhia đi:

Xét 2 cặp số dương :

[a/√(a + b) ; b/√(b + c) ; c/√(c + d) ; d/√(d + a)] ; [√(a + b) ; √(b + c) ; √(c + d) ; √(d + a)]

=> [a²/(a + b) + b²/(b + c) + c²/(c + d) + d²/(d + a)].2.(a + b + c + d ) >= (a + b + c + d)^2

<=> 2.[a²/(a + b) + b²/(b + c) + c²/(c + d) + d²/(d + a)] >= 1 (a + b + c + d = 1)

<=> a²/(a + b) + b²/(b + c) + c²/(c + d) + d²/(d + a) >= 1/2 (đpcm)

Nếu cô bạn vẫn không thích cách làm Bunhia có thể làm theo Cô-si cũng được.

Dấu bằng dự là a=b=c=d=1/4

a²/(a + b) = 1/8 => (a+b)/4

Do vậy áp dụng Cô-si với biểu thức: a²/(a + b) + (a + b)/4 >= a

Tương tự với 3 biểu thức còn lại. Suy ra đpcm.

Một cách trình bày dài hơn Mes