Mời mọi người thử sức với BĐT ?

Question

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a³ + b³ + c³ = 3 
CMr: 
a³/(b² - 2b + 3) + 2b³/(c³ + a² - 2a - 3c + 7) + 3c³/(a^4 + b^4 + a² - 2b² - 6a + 11) ≤ 3/2 

(Nếu Bạn làm được đồng nghĩa bạn hơn mình, làm ơn hãy để lại một số kinh nghiệm 
về dạng toán này của bạn, xin cảm ơn nhiều)

Ẩn danh · Accepted Answer

xét

VT = a³/(b² - 2b + 3) + 2b³/(c³ + a² - 2a - 3c + 7) + 3c³/(a^4 + b^4 + a² - 2b² - 6a + 11)

= a³ / [(b - 1)² + 2] + 2b³ / [c³ - 3c + 2 + (a - 1)² + 4] + 3c³ / [(a² - 1)² + 3(a - 1)² + (b² - 1)² + 6]

= a³ / [(b - 1)² + 2] + 2b³ / [(c - 1)² (c + 2) + (a - 1)² + 4] + 3c³ / [(a² - 1)² + 3(a - 1)² + (b² - 1)² + 6]

có:

a;b;c >0

=> (b - 1)² >= 0 => a³ / [(b - 1)² + 2] <= a³ / 2

(c - 1)² (c + 2) + (a - 1)² >= 0 => 2b³ / [(c - 1)² (c + 2) + (a - 1)² + 4] <= b³ / 2

(a² - 1)² + 3(a - 1)² + (b² - 1)² >= 0 => 3c³ / [(a² - 1)² + 3(a - 1)² + (b² - 1)² + 6] <= c³ / 2

=> VT <= 0,5(a³ + b³ + c³) = 0,5 . 3 = 1,5 = VP

=> VT <= VP

=> dpcm

Dấu = khi a = b = c = 1

Mời mọi người thử sức với BĐT ?

1 Câu trả lời