Chứng minh K luôn di động trên một đường thẳng cố định khi M di động trên nửa đường tròn tâm O?

Question

Cho điểm M di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB (MA>MB). Dựng  đường tròn tâm O bán kính BM. Kẻ MH ⊥ AB tại H. Trên tia đối của tia MH  lấy điểm E (E≠M).
 Trên nửa mặt phẳng không chứa A, bờ là EB. Vẽ nửa đường tròn đường kính EB cắt (B) tại F. Gọi K là giao điểm của AF và BE.
a)Cho AB−AM=2 và MA−MB=7.Tính MH
b) Chứng minh K luôn di động trên một đường thẳng cố định khi M di động trên nửa đường tròn tâm O.

Nguyen Kim Nguu · Accepted Answer

a) Dat AB = x > 0; AM = y > 0; BM = z > 0 ta co he pt:

{ x² = y² + z² (1)

{ x - y = 2 (2)

{ y - z = 7 (3)

Tu (2) => y = x - 2; Tu (3) => z = y - 7 = x - 9 ( x > 9) thay va0 (1)

x² = (x - 2)² + (x - 9)² <=> x² - 22x + 85 = 0 <=> x = 5 (loai) ; x = 17 => y = 15; z = 8

=> MH = AM.BM/AB = yz/x = 15.8/17 = 120/17

b) Goi D la giao diem cua AF vs (B; BM).

AM la tiep tuyen va ADF la cat tuyen cua (B) nen ta co he thuc : AD.AF = AM²

Tam giac AMB vuong tai M va duong cao MH nen ta co he thuc : AH.AB = AM²

=> AD.AF = AH.AB (1)

Mat khac de thay tu giac BHEF noi tiep duong tron dk BE (2)

(1) va (2) chung to D cung thuoc duong tron duong kinh BE

Ma BD = BF (ban kinh cua (B; BM) => DF _I_ BE hay AK _I_ BK => K thuoc (O) co dinh

Chứng minh K luôn di động trên một đường thẳng cố định khi M di động trên nửa đường tròn tâm O?

1 Câu trả lời