BĐT Đây, mong mọi người giúp đỡ?

Không mất tính tổng quát ta coi c là số nhỏ nhất trong ba số a,b,c. Khi đó ta có a,b > c >= 0, hay a,b > 0 và đồng thời 0 < b - c <= b, 0 < a - c <= a; suy ra 0 < (b - c)^2 <= b^2, 0 < (c - a)^2 = (a - c)^2 <= a^2. Từ đó ta có

1/(a - b)^2 + 1/(b - c)^2 + 1/(c - a)^2 >= 1/(a - b)^2 + 1/a^2 + 1/b^2.

Đồng thời, vì a^2 + b^2 + c^2 >= a^2 + b^2 nên ta suy ra bất đẳng thức

(a^2 + b^2 + c^2)[1/(a - b)^2 + 1/(b - c)^2 + 1/(c - a)^2] >= (a^2 + b^2)[1/(a - b)^2 + 1/a^2 + 1/b^2];

hay

(a^2 + b^2 + c^2)[1/(a - b)^2 + 1/(b - c)^2 + 1/(c - a)^2] >= [(a/b)^2 + 1][1/(a/b - 1)^2 + 1/(a/b)^2 + 1];

hay

(a^2 + b^2 + c^2)[1/(a - b)^2 + 1/(b - c)^2 + 1/(c - a)^2] >= (k^2 + 1)[1/(k - 1)^2 + 1/k^2 + 1] (1).

Trong đó k = a/b (k > 0,k # 1).

Ta sẽ chứng minh (k^2 + 1)[1/(k - 1)^2 + 1/k^2 + 1] >= [11 + 5can(5)]/2 (2); rồi từ đó suy ra kết quả. Thật vậy, thực hiện phép tính đối với vế trái của (2) thì (2) tương đương với

(k^2 + 1)(k^4 - 2k^3 + 3k^2 - 2k + 1)/(k^4 - 2k^3 + k^2) >= [11 + 5can(5)]/2;

hay

(k + 1/k)[(k^2 + 1/k^2) - 2(k + 1/k) +3]/(k + 1/k - 2) >= [11 + 5can(5)]/2;

hay

(k + 1/k)[(k + 1/k)^2 - 2(k + 1/k) +1]/(k + 1/k - 2) >= [11 + 5can(5)]/2;

hay

t(t - 1)^2/(t - 2) >= [11 + 5can(5)]/2.

Trong đó t = k + 1/k (t > 2 vì k # 1).

Xét hàm số f(t) = t(t - 1)^2/(t - 2), t > 2.

Đạo hàm của f là f'(t) = (t - 1)(2t^2 - 6t + 2)/(t - 2)^2, t > 2. Từ đó f'(t) = 0 khi t = (3 + can(5))/2. Lập bảng biến thiên của f với t > 2 ta được kết quả f(t) >= f((3 + can(5))/2) = [11 + 5can(5)]/2, với t > 2.

Từ đó suy ra bất đẳng thức (2). Kết hợp (1) và (2) ta có bất đẳng thức phải chứng minh (bạn hãy tự tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra nhé! Cảm ơn!).