a01, Thanh Long cho em hỏi bài lim ?

1/ Ý kiến:

Theo như cách làm trên thì q phải là số không phụ thuộc n (vì nếu không thì sẽ khó có thể kiểm soát limq^k), và k chắc chắn phải phụ thuộc n (vì nếu không thì q^k không hề phụ thuộc n nên không thể có limq^k = 0). Như vậy, một kết quả tất yếu phải có là dùng đến khái niệm dãy con, điều này chắn bạn chưa được học. Hơn thế nữa, cứ cho là tìm được k để 5/(4n + 6) = q^k nhưng chưa chắc rằng k đã là số tự nhiên, nên chưa thể khẳng định lim(q^k) = 0.

2/ Cách khác:

Trước hết, định nghĩa "limun = a" có thể viết tường minh như sau:

"Với mọi e > 0, sẽ có một số nguyên dương n0 sao cho |un - a| < e với mọi n >= n0".

Như vậy điều cốt yếu ở đây là phải tìm số n0 sao cho |un - a| < e với mọi n >= n0. Do đó sẽ dẫn đến việc giải bất phương trình |un - a| < e (a,e là hằng số) để chọn ra số n0 đó. Sau đây là cách làm.

Với e > 0 tùy ý, Xét bất phương trình |5/(4n + 6) - 0| < e. Bất phương trình này tương đương với

|5/(4n + 6)| < e,

hay

5/(4n + 6) < e,

hay

4n + 6 > 5/e (vì n nguyên dương và e > 0).

hay

n > [(5/e - 6)]/4.

Vậy là: |5/(4n + 6) - 0| < e khi và chỉ khi n > [(5/e - 6)]/4 (*); có thể lấy số nguyên dương n0 (cố định) sao cho n0 > [(5/e - 6)]/4 (điều này luôn làm được với e > 0 cho trước).

Từ đó, suy ra với n >= n0, do n0 > [(5/e - 6)]/4 nên n > [(5/e - 6)]/4, vì mệnh đề (*) nên |5/(4n + 6) - 0| < e.

Vậy, với e > 0 tùy ý thì |5/(4n + 6) - 0| < e với mọi n >= n0 (n0 được chọn như trên).