Yahoo Hỏi & Đáp sẽ ngừng hoạt động vào ngày 4 tháng 5 năm 2021 (Giờ Miền Đông nước Mỹ) và từ nay, trang web Yahoo Hỏi & Đáp sẽ chỉ ở chế độ đọc. Các thuộc tính hoặc dịch vụ khác của Yahoo hay tài khoản Yahoo của bạn sẽ không có gì thay đổi. Bạn có thể tìm thêm thông tin về việc Yahoo Hỏi & Đáp ngừng hoạt động cũng như cách tải về dữ liệu của bạn trên trang trợ giúp này.
Anh thanh long va a01 cho em hỏi ? ? ?
Cho
{ a, b, c > 0
{ 3b²c² + a² = 2(a + bc) --- (*)
Tìm Min P = (2a² - 2a + 5)/(bc) + 4/(a + b)² + 4/(a + c)²
(*) <=> 3b²c² - 2bc - 1 = - a² + 2a - 1
<=> (3bc + 1)(bc - 1) = -(a - 1)²
---> bc ≤ 1
Do đó
P ≥ 2a² - 2a + 5 + 4/(a + b)² + 4/(a + c)² ≥ 2a² - 2a + 5 + 8/(a² + b²) + 8/(a² + c²)
= 2a² - 2a + 5 + 8a²/(1 + (b/a)²) + 8a²/(1 + (c/a)²)
Không làm mất tính tổng quát, giả sử bc/a ≥ 1, sử dụng BĐT
1/(1 + x²) + 1/(1 + y²) ≥ 2/(1 + xy)
Thì: 8a²/(1 + (b/a)²) + 8a²/(1 + (c/a)²) ≥ 16a² /(1 + (bc/a)) ≥ 16a² /(1 + (1/a))
---> P ≥ 2a² - 2a + 5 + 16a³/(a + 1) = f (a)
Bài giải có được ko mọi người, nếu đúng thì cho em hỏi f (a) giới hạn từ đâu đến đâu
Tại vì f '(a) là hàm đồng biến nên cần biến chặn dưới để --> Min, chặn trên là 1 (nếu
như cách giải trên ko sai)
Nếu sai thì sai chổ nào, Cách khác... ? (Mong mọi người giúp đỡ,)
2 Câu trả lời
- 7 năm trướcCâu trả lời yêu thích
Ý tưởng hay, nhưng có một vài chỗ chưa chặt chẽ; cụ thể thế này:
i/ Ở điều kiện đề bài và cả trong P thì chỉ có b và c có vai trò như nhau, còn đối với bc và a thì vai trò không như nhau, do đó việc giả sử bc >= a là mất tổng quát.
ii/ Để có thể sử dụng 1/[1 + (b/a)^2] + 1/[1 + (c/a)^2] >= 2/(1 + bc/a^2) thì điều kiện phải là bc >= a^2 chứ không phải là bc >= a.
Tôi có cách này, bạn có thể tham khảo rồi cho ý kiến.
Từ kết quả đã làm thì có 0 < bc <= 1; không mất tính tổng quát khi coi 0 < b <= 1; thế thì 0 < c <= 1/b (*).
Dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 khi a = b = c = 1, và sau đây là cách chứng minh.
Trường hợp a > 2. Từ giả thiết đề bài suy ra a^2 - 2a + 3b^2c^2 - 2bc = 0; suy ra a = 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2) hoặc a = 1 - can(1 + 2bc - 3b^2c^2) (loại), suy ra a = 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2). Vì a > 2 nên 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2) > 2; giải bất phương trình này được 0 < bc < 2/3. Lại vì 2a^2 - 2a + 5 > 0 nên
P > [(2a^2 - 2a) + 5]/(2/3) > 5/(2/3) > 7.
Trường hợp 0 < a <= 2. Vì 0 < bc <= 1 và 2a^2 - 2a + 5 > 0 và (*) nên
P >= 2a^2 - 2a + 5 + 4[1/(a + b) + b^2/(ab + 1)^2] (1).
Xét hàm số f(x) = 1/(x + a)^2 + [x/(ax + 1)]^2, 0 < x <= 1.
Khi đó f'(x) = -2/(x + a)^3 + 2x/(ax + 1)^3 = 2(x^2 - 1)[x^2 + (3a - a^3)x + 1]/[(x + a)(ax + 1)]^3, 0 < x < 1.
Vì 0 < a <= 2 nên 3a - a^3 >= -2; và vì x > 0 nên x^2 + (3a - a^3)x + 1 >= x^2 - 2x + 1 >= 0. Từ đó với 0 < x < 1 thì f'(x) < 0; suy ra f nghịch biến trên (0 ; 1]. Thành thử, với 0 < b <= 1 thì
f(b) >= 2/(a + 1)^2,
suy ra
2a^2 - 2a + 5 + 4[1/(a + b) + b^2/(ab + 1)^2] >= 2a^2 - 2a + 5 + 8/(a + 1)^2 (2).
Giờ chỉ cần 2a^2 - 2a + 5 + 8/(a + 1)^2 >= 7 (3) là có kết quả. Thật vậy , bất đẳng thức tương đương với
(2a^2 - 2a - 2)(a + 1)^2 + 8 >= 0,
hay
a^4 + a^3 - 2a^2 - 3a + 3 >= 0,
hay
(a - 1)^2(a^2 + 3a + 3) >= 0.
- Ẩn danh7 năm trước
P ⥠2a² - 2a + 5 + 4/(a + b)² + 4/(a + c)² ⥠[[[ >>2a² - 2a + 5 + 8/(a² + b²) + 8/(a² + c²) <<]]]
chỠnà y á
P >= 2a² - 2a + 5 + 2/(a² + b²) + 2/(a² + c²)
ker muk...