Anh thanh long va a01 cho em hỏi ? ? ?

Ý tưởng hay, nhưng có một vài chỗ chưa chặt chẽ; cụ thể thế này:

i/ Ở điều kiện đề bài và cả trong P thì chỉ có b và c có vai trò như nhau, còn đối với bc và a thì vai trò không như nhau, do đó việc giả sử bc >= a là mất tổng quát.

ii/ Để có thể sử dụng 1/[1 + (b/a)^2] + 1/[1 + (c/a)^2] >= 2/(1 + bc/a^2) thì điều kiện phải là bc >= a^2 chứ không phải là bc >= a.

Tôi có cách này, bạn có thể tham khảo rồi cho ý kiến.

Từ kết quả đã làm thì có 0 < bc <= 1; không mất tính tổng quát khi coi 0 < b <= 1; thế thì 0 < c <= 1/b (*).

Dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 khi a = b = c = 1, và sau đây là cách chứng minh.

Trường hợp a > 2. Từ giả thiết đề bài suy ra a^2 - 2a + 3b^2c^2 - 2bc = 0; suy ra a = 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2) hoặc a = 1 - can(1 + 2bc - 3b^2c^2) (loại), suy ra a = 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2). Vì a > 2 nên 1 + can(1 + 2bc - 3b^2c^2) > 2; giải bất phương trình này được 0 < bc < 2/3. Lại vì 2a^2 - 2a + 5 > 0 nên

P > [(2a^2 - 2a) + 5]/(2/3) > 5/(2/3) > 7.

Trường hợp 0 < a <= 2. Vì 0 < bc <= 1 và 2a^2 - 2a + 5 > 0 và (*) nên

P >= 2a^2 - 2a + 5 + 4[1/(a + b) + b^2/(ab + 1)^2] (1).

Xét hàm số f(x) = 1/(x + a)^2 + [x/(ax + 1)]^2, 0 < x <= 1.

Khi đó f'(x) = -2/(x + a)^3 + 2x/(ax + 1)^3 = 2(x^2 - 1)[x^2 + (3a - a^3)x + 1]/[(x + a)(ax + 1)]^3, 0 < x < 1.

Vì 0 < a <= 2 nên 3a - a^3 >= -2; và vì x > 0 nên x^2 + (3a - a^3)x + 1 >= x^2 - 2x + 1 >= 0. Từ đó với 0 < x < 1 thì f'(x) < 0; suy ra f nghịch biến trên (0 ; 1]. Thành thử, với 0 < b <= 1 thì

f(b) >= 2/(a + 1)^2,

suy ra

2a^2 - 2a + 5 + 4[1/(a + b) + b^2/(ab + 1)^2] >= 2a^2 - 2a + 5 + 8/(a + 1)^2 (2).

Giờ chỉ cần 2a^2 - 2a + 5 + 8/(a + 1)^2 >= 7 (3) là có kết quả. Thật vậy , bất đẳng thức tương đương với

(2a^2 - 2a - 2)(a + 1)^2 + 8 >= 0,

hay

a^4 + a^3 - 2a^2 - 3a + 3 >= 0,

hay

(a - 1)^2(a^2 + 3a + 3) >= 0.

P ≥ 2a² - 2a + 5 + 4/(a + b)² + 4/(a + c)² ≥ [[[ >>2a² - 2a + 5 + 8/(a² + b²) + 8/(a² + c²) <<]]]

chỗ này á

P >= 2a² - 2a + 5 + 2/(a² + b²) + 2/(a² + c²)

ker muk...