Bất đẳng thức hay, mọi người cùng giải nhanh nào?

x + y + z = 1 =>

{ x + yz = 1 - y - z + yz = (1 - y)(1 - z)

{ y + zx = 1 - z - x + zx = (1 - z)(1 - x)

{ z + xy = 1 - x - y + xy = (1 - x)(1 - y)

(x - yz)/(x + yz) + (y - zx)/(y + zx) + (z - xy)/(z + xy) ≤ 3/2 (*)

<=> 1 - 2yz/(x + yz) + 1 - 2zx/(y + zx) + 1 - 2xy/(z + xy) ≤ 3/2

<=> 2yz/(1 - y)(1 - z) + 2zx/(1 - z)(1 - x) + 2xy/(1 - x)(1 - y) ≥ 3/2

<=> 4yz(1 - x) + 4zx(1 - y) + 4xy(1 - z) ≥ 3(1 - x)(1 - y)(1 - z)

<=> 4(xy + yz + zx) - 12xyz ≥ 3(1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz)

<=> xy + yz + zx ≥ 9xyz

<=> 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9

<=> (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) ≥ 9

<=> x/y + y/x + y/z + z/y + z/x + x/z ≥ 6

Bất đẳng thức cuối cùng này đúng vì

x/y + y/x ≥ 2; y/z + z/y ≥ 2; z/x + x/z ≥ 2

Vậy bất đẳng thức (*) đúng

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1/3