Chứng minh rằng nếu a+b=1 thì a^2 + b^2 >= 1/2?

....

ới mọi a, b ta có :

( a - b) ² >= 0

<=> a² - 2ab + b² >= 0

<=> a² + b² >=2ab

<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²

<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1

<=> a² + b² >= 1/2

Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2

Với mọi a, b ta có :

( a - b) ² >= 0

<=> a² - 2ab + b² >= 0

<=> a² + b² >=2ab

<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²

<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1

<=> a² + b² >= 1/2

Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:

(a+b)^2=(1.a+1.b)^2 ≤ (1^2+1^2)(a^2+b^2)

=> (a+b)^2 ≤ 2(a^2+b^2)

=> (a^2+b^2) ≥ 1/2

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1/2(đpcm)

a+b=1 <=> a=1-b. Xét hiệu H= (1-b)^2 +b^2 -1/2= 2(b^2-b+1/4)=2(b-1/2)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0

.

.

.

a = b-1 thay vào pt kia

(b-1)^2+b^2 =1/2

b^2- 2b+1 +b^2 =1/2

=> b=a=0.5 thỏa 2pt