Cho tam giác ABC có trọng tâm G:?

Xét ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ hình bình hành ABDC, đặt BC = a; AB = c; BD = CA = b; AD = 2ma; GA = (2/3)ma; cos(^ABD) = cos(180o - A) = - cosA; cos(A + B) = cos(180o - C) = - cosC

a) Áp đụng định lý hs cosin lần lượt cho ∆ABC và ∆ABD ta có:

BC² = CA² + AB² - 2CA.AB.cosA <=> 2bc.cosA = b² + c² - a²

AD² = AB² + BD² - 2AB.BD.cos(ABD) <=> 4ma² = b² + c² + 2bc.cosA = 2b² + 2c² - a² (1)

Tương tự : 4mb² = 2c² + 2a² - b² (2) ; 4mc² = 2a² + 2b² - c² (3)

Lấy (1) + (2) + (3) vế với vế ta có :

4(ma² + mb² + mc²) = 3(a² + b² + c²) <=> ma² + mb² + mc² = (3/4)(a² + b² + c²)

b) Xét tổng :

sin²A + sin²B + sin²C = (1/2)(1 - cos2A) + (1/2)(1 - cos2B) + (1 - cos²C) = 2 - cos²C - cos(A + B)cos(A - B) = 2 - cos²C + cosCcos(A - B) = 9/4 - (1/4)sin²(A - B) - [cosC - (1/2)cos(A - B)]² ≤ 9/4 (*)

Do đó theo câu a); áp dụng định lý hs sin và theo (*) ta có:

GA² + GB² + GC² = (4/9)(ma² + mb² + mc²) = (1/3)(a² + b² + c²) = (1/3)[(2RsinA)² + (2RsinB)² + (2RsinC)²] = (4R²/3)(sin²A + sin²B + sin²C) ≤ (9/4)(4R²/3) = 3R²

Theo (*) Dấu = xảy ra khi sin(A - B) = cosC - (1/2)cos(A - B) = 0 <=> A = B; cosC = 1/2 <=> ∆ABC đều

c) Áp dụng BĐT (x + y + z)² ≤ 3(x² + y² + z²) và Theo câu b)

(ma + mb + mc)² = (9/4)(GA + GB + GC)² ≤ (27/4)(GA² + GB² + GC²) ≤ (81/4)R²

=> ma + mb + mc ≤ (9/2)R

Dấu = xảy ra khi ∆ABC đều

câu hỏi khó ghê

c

k

b