Cho mình hỏi cho A(x) khác đa thức 0 thỏa mãn x.A(x-2)=(x-4).A(x) với mọi x Chứng minh đa thức A(x) có bậc 2?

x.A(x - 2) = (x - 4).A(x) (1) với mọi x

Thay x = 0 vào (1) => A(0) = 0 => x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) (*)

Thay x = 4 vào (1) => A(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức A(x) (**)

Từ (*) và (**) => đa thức A(x) có dạng A(x) = x(x - 2).B(x) (2) với mọi x

( với B(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn A(x) 2 bậc)

Thay x bởi x - 2 vào (2) => A(x - 2) = (x - 2)(x - 4).B(x - 2) (3) với mọi x

Thay (2) và (3) vào (1) có

x(x - 2)(x - 4).B(x - 2) = x(x - 2)(x - 4).B(x) với mọi x

Hay B(x - 2) = B(x) với mọi x => B(x) = a = hằng số

Vậy A(x) = ax(x - 2) = ax² - 2ax (với a là hằng số tùy ý) (đpcm)