Anh Kiếm Ma,anh Kim Ngưu, anh a01 và các anh chị giúp em bài giải pt và bài BĐT 9 ạ,e cảm ơn :D?

1) Ta co BDT dung :

(√(ab) - 1)² + (√a - √b)² >= 0 ( voi a,b >= 0)

<=> ab + a + b + 1 >= 4√(ab)

<=> (a + 1)(b + 1) >= 4√(ab)

<=> 2√[a(a + 1)²].√[b(b + 1)²] >= 8ab

=> a(a + 1)² + b(b + 1)² >= 8ab ( Theo Cosi a(a + 1)² + b(b + 1)² >= 2√[a(a + 1)²].√[b(b + 1)²] >= 8ab)

<=> (a + 1)²/b + (b + 1)²/a >= 8

Dat a = x - 1 > 0 => a + 1 = x; b = y - 1 > 0 => b + 1 = y thay vao (1) ta co BDT can cm

x²/(y - 1) + y²/(x - 1) >= 8

Dau bang xay ra khi a = b = 1 hay x = y = 2

2) x = √(x - 1/x) + √(1 - 1/x) (1)

Tu pt => x > 0 vi ve phai > 0

Mat khac de cac can thuc co nghia thi :

{ x - 1/x >= 0 <=> x² - 1 >= 0 <=> x >= 1

{ 1 - 1/x >= 0 <=> x - 1 >= 0 <=> x >= 1

Ket hop lai dieu kien la : x > 1 ( do x = 1 khong thoa (1)). Voi dieu kien do pt (1) tuong duong vs

x√x = √(x² - 1) + √(x - 1) (2)

<=> x√x[√(x² - 1) - √(x - 1)] = x(x - 1) (nhan 2 ve cua (2) vs luong lien hop √(x² - 1) - √(x - 1) > 0 )

<=> √x[√(x + 1) - 1] = √(x - 1)

<=> √[x(x + 1)] = √x + √(x - 1)

<=> x(x + 1) = 2x - 1 + 2√[x(x - 1)]

<=> x(x - 1) - 2√[x(x - 1)] + 1 = 0

<=> [√x(x - 1) - 1]² = 0

<=> x(x - 1) = 1

<=> x² - x - 1 = 0

Giai ra x = (1 + √5)/2 ( loai nghiem x = (1 - √5)/2

KL : Pt co nghiem duy nhat x = (1 + √5)/2

1) Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

x - 1 + 1 >= 2√(x-1)

x^2/4 >= x - 1

(2y/x)^2 <= y^2/(x-1)

TÆ°Æ¡ng tá»±

(2x/y)^2 <= x^2/(y-1)

x^2/(y-1) + y^2/(x-1) >= (2x/y)^2 + (2y/x)^2 >= 8

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2