Cho x,y>0 thỏa mãn 2x+y+ căn bậc hai của (5x^2 + 5y^2) =10. Chứng minh rằng x^4y<=16?

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có:

2x + y ≤ √[(2² + 1²)(x² + y²)] = √(5x² + 5y²)

Dấu = xảy ra khi x/2 = y/1 (1)

Theo giả thiết:

10 = 2x + y + √(5x² + 5y²) ≥ 2(2x + y) => 2x + y ≤ 5 => (2x + y)/5 ≤ 1

Áp BĐT Cô si cho 5 số ta có:

(x/2)⁴y ≤ [(x/2 + x/2 + x/2 + x/2 + y)/5]⁵ = [(2x + y)/5]⁵ ≤ 1

=> x⁴y ≤ 16 (*)

Dấu = xảy ra khi x/2 = y (2)

Từ (1) và (2) => (*) đúng => đpcm

∆ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≤ ≥− ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★ ✰

.

.

.